الغازات المثالية

أولا: إنضغاط وتمدد الغاز المثالي:
Compression and expansion of perfect gas
أ‌- إنضغاط الغاز في منظومة مغلقة:
عند انضغاط غاز في اسطوانة يتحرك داخلها مكبس محكم ، فإن حجم الغاز ينقص ولكن ضغطه يرتفع. وعلي ذلك فإن الشغل المبذول بواسطة المكبس علي الغاز يظهر علي هيئة طاقة حرارية وبالتالي فإن درجة حرارة الغاز تبدأ في الإرتفاع .
1- Isothermal

2- Adiabatic

3- Polytropic

شكل (1)
وهناك ثلاثة أنواع من الإنضغاط للغاز المثالي:
1)انضغاط أيسوثرمالي ( عند ثبوت درجة الحرارة):
Isothermal Compression
بافتراض تحرك المكبس داخل الإسطوانة لضغط الغاز، وفي نفس الوقت يتم استرجاع الطاقة الحرارية الناتجة من ألإنضغاط بواسطة قميص تبريد حول الإسطوانة ( أو أي وسيلة أخري) لمنع ارتفاع درجة الحرارة للغاز، أي أنه يتم انضغاط الغاز مع ثبوت درجة حرارته. وعلي ذلك فإن اعلاقة بين الضغط والحجم تتبع قانون بويل Boyle's Law
( i) ( PV = Constant) P1V1 = P2V2


2) إنضغط أدياباتي Adiabatic compression
بإفتراض تحرك المكبس بسرعة كبيرة عند ضغطه للغاز داخل الإسطوانة ( بحيث لا يكون هناك متسع من الوقت لإنتقال طاقة حرارية من الغاز إلي جدران الإسطوانة )، وبالتالي فإن الشغل المبذول يتحول إلي طاقة داخلية مختزنة في الغاز. حينئذ ترتفع درجة حرارة الغاز في نهاية شوط ويسمي هذا بالإنضغاط الأدياباتي
ويتبع ذلك القانون h = u + PV = Const
الطاقة الحرارية النوعية للغاز h KJ / Kg
الطاقة الداخلية للغاز KJ / Kg U

(ii ) U1 + P1V1 = U2 + P2V2
PVk = Const
( iii) k P1V1k = P2V2
حيث يكون الأس الأدياباتي ( iv)

الحرارة النوعية للغاز عند ثبوت الضغط Cp
الحرارة النوعية للغاز عند ثبوت الحجم Cv

ج- الإنضغاط البوليتروبي Plytropic Compression
عمليا فإن الحالات 1، 2 هي حالات انضغاط مثالية وحقيقة فإن جزء من الطاقة الحرارية المتولدة من عملية الإنضغاط يتسرب خلال جدران الإسطوانة (لاسيما إذا كان هناك تبريد خلال ممرات في قميص الإسطوانة )، ولكن هذا التسرب عادة لا يكون كبيرا بالمقارنة مع الطاقة الحرارية المكتسبة للغاز نتيجة إنضغاطه، ومثل هذا النوع م الإنضغاط حيث يتم انتقال جزئي للحرارة من الغاز إلي مصدر خارجي يسمي انضغاط بوليتروبي وفي شكل (1) تظهر العمليات الثلاثة للإنضغاط ، ويقع منحني الإنضغاط البوليتروبي بين المنحنيات الإيسوثرمالي والأدياباتي.
وهذا الإنضغاط يتبع العلاقة :
PVn = Constant
P1V1n = P2V2n ( v)
ويكون أس الإنضغاط البوليتروبي n بين
القيمتين 1 للحالة الإيسوثرمالية
K للحالة الأديباتية
( vi) k > n > 1




ب‌- تمدد الغاز في منظومة مغلقة:
Expansion of gases in a closed system
عندما يتمدد الغاز في اسطوانة ( ويبذل شغلا علي المكبس) فإن ضغطه ينخفض ويزداد حجمه، ويمكن أن تنخفض درجة حرارته لأن جزءا من طاقته الحرارية قد تحول إلي طاقة ميكانيكية(حركة المكبس من T.D.C إلي B.D.C ).
تمدد أيسوثرمالي PV = c (1)
تمدد أدياباتي PVk = c (2) تمدد بوليتروبي PVn = c (3)

شكل (2)
وفي حالة التمدد الإيسوثرمالي يجب أن تنتقل بعض الحرارة من الخارج إلي الغاز لكي نحافظ علي درجة حرارته ثابتة .
أما التمدد الأدياباتي فعندما لا تنتقل أيه طاقة حرارية من الغاز أو إليه ( h = Constant) ، فإنه يجب لإتمام الشغل المبذول بواسطة الغاز علي المكبس أن يتحول جزء من الطاقة الداخلية المختزنة إلي طاقة ميكانيكية وفي هذه الحالة تنخفض درجة حرارة الغاز.

PV k = Constant
وفي حالة التمدد البوليتروبي فيجب انتقال طاقة حرارية بسيطة من مصدر خارجي إلي الغاز ، ولكن هذا لن يكون كافيا لثبوت درجة حرارة الغاز أثناء عملية التمدد
PV n = Constant
ومن واقع المنحنيات في اشكال (1) ، (2) للإنضغاط والتمدد نلاحظ أن المنحني الأدياباتي هو أكثرها حده في الميل ، والمنحني الإيسوثرمالي أقلها أما البولتروبي فيقع بينهما.
وكلما زادت نسبة الإنضغاط أو التمدد كلما زادت حدة ميل هذه المنحنيات .
وفي جميع العمليات الثرموديناميكية ( سواء انضغاط أو تمدد ) في منظومات مغلقة closed systems فإن المعادلة العامة للغازات يمكن تطبيقها تماما.

PV = m R T KJ (vii)
حيث يكون ثابت الغاز R = Cp – C v KJ / Kg. K o (viii)

العلاقات المختلفة بين خواص الغاز المثالي في العمليات البوليتروبية:
نسبة التمدد r exp. = الحجم النهائي
الحجم الإبتدائي
نسبة الإنضغاط r comp = الحجم الإبتدائي
الحجم النهائي
ويلاحظ أن r exp ، r comp كلاهما دائما نسبة أكبر من الواحد الصحيح .

لإحدي عمليات الإنضغاط أو التمدد
P1V1n = P2V2n ( 1)

(2)
من المعادلة 1 (3)
بالتعويض من المعادلة (3) في المعادلة (2)


وكذلك من المعادلة (1)
بالتعويض من المعادلة (5) في المعادلة (2)

ومن المعادلات (4) ، (6) تتلخص هذه العلاقات الثنائية كالآتي :

وكذلك للعمليات الأديباتية:

مثال (1) :
0.25 m3 من الهواء ضغطها 90 KN / m2 ودرجة حرارتها 10 o c ، يتم إنضغاطها في اسطوانة محكمة حتي يصبح حجمها 0.05 m3 فإذا كان الإنضغاط أديباتيا PVk = c ، K = 1.4 اوجد:
أ- الضغط ودرجة الحرارة في نهاية الانضغاط.
ب- كتلة الغاز في الإسطوانة.
للهواء R= 0.287 KJ / Kg . K
الحل:
a- P2V2k = P1V1k

مثال (2) :
50 lit من غاز ضغطها 4 MN / m2 تتمدد بوليتروبيا في اسطوانة محكمة حتي يصل الضغط إلي 400 KN / m2 ، ودرجة الحرارة النهائية إلي 227o c فإذا كان أس التمدد n = 1.35 اوجد:-
أ‌- الحجم النهائي.
ب‌- درجة الحرارة الإبتدائية .

الحل:
مثال (3):
20 lit من غاز مثالي درجة حرارتها 400 oc تتمدد في منظومة مغلقة حتي وصل حجمها إلي 130 Lit ودرجة حرارتها النهائية إلي 70 o c . فإذا كان التمدد بوليتروبيا ، احسب أس التمدد؟

الحل:

مثال (4):
كانت نسبة الإنضغاط في ماكينة احتراق داخلي ( تستخدم البنزين ) هي 1/9 . احسب درجة حرارة غازات الاحتراق في بداية الشوط الفعال اذا كانت درجة حرارة الهواء الداخل للماكينة 24oc .
أس الإنضغاط n = 1.36

الحل:

الشغل المنتقل Work Transfer
إذا تحرك مكبس في اسطوانة محكمة لإحدي آلات الإحتراق الداخلي فإن هذا المكبس يبذل شغلا علي الهواء المسحوب داخل الماكينة لضغطه بنسبة إنضغاط معينة من النقطة الميتة السفليB.D.C حتي النقطة الميتة العلياT.D.C. بعد حقن الوقود فإن ضغط غازات الإحتراق يكون كبيرا وتبدأ هذه الغازات في بذل شغل معين علي المكبس لدفعه من T.D.C إلي B.D.C ويسمي هذا بالشوط الفعال وفيه يتمدد الغاز وينخفض ضغطه.

الشغل = القوة * المسافة المقطوعة بواسطة المكبس
القوة علي المكبس = الضغط * مساحة مقطع المكبس
Force = P * A KN
W.D. = P * A * Lstroke KJ
وحيث أن حجم الغاز المزاح في الشوط
A * L stroke = V stroke
W.D. = P * V KJ
فإذا كان الحجم الإبتدائي V1 m3
الحجم النهائي V2 m3
أ‌- وبإفتراض ثبوت الضغط عند تحرك المكبس وتمدد الغاز
يكون الشغل المبذول عند الضغط الثابت : W.D. = P (V2 – V1 ) KJ
ب‌- وعند التمدد الأدياباتي أو البوليتروبي

ج- وفي حالة التمدد عند ثبوت درجة الحرارة :
W.D. = P1 V1 / I n r = mRT1 / I n r
حيث r > 1 نسبة التمدد

مثال (5):
0.04 m3 من غاز مثالي ضغطها 1482 KN / m2 تتمدد عند ثبوت درجة حرارتها (ايسوثرماليا ) حتي يصل حجمها إلي 0.09 m3 .
احسب الشغل المبذول بواسطة الغاز؟
الحل:
W.D. = P1 V1 lnr
= 1482 x 0.04 ln 0.09 / 0.04 = 48.08 KJ
مثال (6):
8 lit من الهواء ضغطها 15 bar ودرجة حرارتها 327 o c ، تتمدد حسب العلاقة PV1.32 = c حتي انخفض الضغط إلي 1.5 bar
اوجد:
أ‌- الحجم في نهاية التمدد .
ب‌- الشغل المنتقل من الهواء إلي جدران الإسطوانة.
ج- درجة الحرارة النهائية.
ء- كتلة الهواء في المنظومة
للهواء R = 0.287 KJ / Kg. k
الحل:

أ-






ب-


ج-





ء-





مثال (7):
غاز مثالي ينضغط في اسطوانة محكمة كانت خواصه الإبتدائية الضغط 1.05 bar ، الحجم 0.34 m3 ، درجة الحرارة 17o c تبعا للقانون PV1.32 = c ، حتي وصل ضغطه إلي 6.32 bar .
احسب:
أ‌- كتلة الغاز.
ب‌- الحجم النهائي.
ج- درجة الحرارة النهائية .
ء- الشغل المبذول لإنضغاط الغاز.
ﻫ - الطاقة الحرارية المتبادلة بين الغاز وجدران الإسطوانة.
(R = 0.287 KJ / KG.K)
(C v = 0.718 KJ / KG.K)

الحل:
أ-


ب-


ج-


ء-

uﻫ - التغير في الطاقة الداخلية
u = u2 – u1 = m cv (T2 – T1)
= 0.4289 x 0.718 x ( 438.8 - 290 )
= + 45.78 KJ

u + W.D.و- الطاقة الحرارية المتبادلة Q =
Q = 45.78 – 61.1 = - 15.32 kj
وهذا يعني انتقال الطاقة الحرارية من الغاز إلي جدران الإسطوانة.

تمرين (2)
1) في منظومة مغلقة يتمدد غاز حجمه 0.015 m3 عند ثبوت درجة حرارته (ايسوثرماليا) حتي يتضاعف حجمة خمس مرات. فإذا كان الضغط الأولي 6 Bar اوجد الضغط النهائي؟
( 1.2 Bar )
2) 0.012 m3 من الهواء ضغطها 101.5 KN / m2 يتم إنضغاطها أدياباتيا حتي يصبح حجمها 0.002 m3.
احسب الضغط النهائي؟
للهواء K = 1.4
( 1247 KN / m2)
3) يتمدد أحد الغازات بوليتروبيا ( PV1.3 = c ) حيث كان ضغطه الإبتدائي 2550 KN / m2 ، ليصبح 210 KN / m2 فإذا كان الحجم النهائي للغاز في نهاية شوط التمدد 0.75 m3 ، احسب الحجم الإبتدائي لهذا الغاز؟
( 0.10989 m3 )

4) في محرك بترولي كانت نسبة الإنضغاط لمخلوط الهواء والبنزين هي 8.6/1 ، وضغط هذه الشحنة KN/ m2 98 في بداية شوط الإنضغاط ودرجة حرارتهاْ c o 28 .
فإذا كان الإنضغاط بوليتروبيا تبعا للقانون PV1.36 = c اوجد بارامترات الشحنة في نهاية هذا الشوط ؟
( 1828.7 KN / m2 , 653.1 o k )

5) يتمدد غاز بوليتروبيا حيث كانت :-
بارامتراته الأولية 1750 KN / m2 ، 0.05 m3
وبارامتراته النهائية 122.5 KN / m2 ، 0.375 m3
احسب قيمة أس التمدد ( n)
( n = 1.3197975)
6) في الجدول التالي بيانات عن الضغوط والحجم تم تسجيلها من قراءات منحني تمدد لمحرك احتراق داخلي.
فإذا كان التمدد بوليتروبيا ، ارسم المنحني البياني بين log* P ، log* V ثم حدد قيمة أس التمدد؟
5.9 7.2 9.1 12.2 17.7 30 P bar
70 60 50 40 30 20 V m3
( n = 1.298)
7) في بداية شوط الإنضغاط داخل احدي اسطوانات آله احتراق داخلي I. C. E. كانت درجة حرارة الهواء 20oc وضغطه 101.3 KN / m2 ، وفي نهاية شوط الإنضغاط أصبح الضغط 1420 KN / m2 .
احسب درجة حرارة الهواء في نهاية الشوط إذا كان قانون الإنضغاط PV1.35 = c
( 581 o k )

Cool غاز درجة حرارته الإبتدائية 66 o c وحجمه 0.014 m3 يتمدد أديباتيا في منظومة مغلقة حتي أصبحت درجة حرارته 2o c .
احسب حجم الغاز في نهاية شوط التمدد ؟
الحرارة النوعية للغاز عند ثبوت الضغط
الحرارة النوعية للغاز عند ثبوت الحجم
( 0.0236 m3 )

9) غاز مثالي يتمدد بوليتروبيا حيث كانت:-
بارامتراته الإبتدائية 147 o c , 0.06 m3 , و بارامتراته النهائية 21 o c , 0.21 m3 . احسب أس التمدد؟
( n = 1.2847 )

10) غاز مثالي حجمه 113 lit وضغطه 8.25 bar يتمدد حتي يصبح حجمه 331 lit .
احسب الضغط نهائي والشغل المبذول في عملية التمدد إذا كان:-
أ‌- تمدد مع ثبوت درجة الحرارة.
ب‌- تمدد أديباتي ( K = 1.4 )
أ‌- 281.65 KN / m2 , 100.2 KJ
ب‌- 183.23 KN / m2 , 81.4 KJ

11) m3 0.112 من غاز مثالي ضغطه 1.38 bar تم إنضغاطه في حيز مغلق حتي .9 bar 6 أدياباتيا . ( K = 1.4 ) . احسب حجم الغاز النهائي؟
( 0.03547 m3 )
12) مائع في اسطوانة مغلقة ضغطه 7 bar ، تمدد عند ثبوت ضغطه فإزداد حجمه من 0.28 m3 حتي وصل إلي 1.68 m3 . احسب الشغل المبذول بواسطة الغاز؟
( 980 kj )

13) 7.08 lit من الهواء ضغطها 1379 KN / m2 ودرجة حرارتها 335o c تمددت حسب العلاقة (PV1.32 = c ) فإنخفض ضغطها حتي 120.6 KN / m2 ، أوجد: -
أ- الحجم ودرجة حرارة الهواء في نهاية شوط التمدد.
ب- كتلة الهواء في المنظومة ( للهواء R = 0.287 KJ / Kg.K)
ج- الشغل المبذول
( 0.0448 m3 , 336.5 o k , 0.056 kg , 13.6 KJ)

14) 0.675 kg وغاز ضغطه 1.4 MN/m2 ودرجة حرارته 280 o c تمددت حتي تضاعف حجمها أربع مرات تبعا للقانون PV1.3 = c
أوجد: أ- الحجوم الإبتدائية والنهائية للغاز ( R = 0.287 KJ/Kg .k )
ب- الضغط ودرجة الحرارة في نهاية التمدد.
( 0.0765 m3 , 0.306 m3 , 2.3 bar, 365 o k )

15)كانت الخواص الإبتدائية لغاز مثالي 12 bar ، 216 o c ، 9900 cm3 ، تم تمدد هذا الغاز في اسطوانة مغلقة ليتضاعف حجمه سته أضعاف الحجم الأصلي تبعا للقانون PV1.33 = c ، اوجد:-
أ- خواص الغاز النهائية.
ب- الشغل المبذول في التمدد ( R = 0.287 KJ / Kg.k )
1.1 bar , 59400 cm3, 270.7 ok , 16.07 KJ) )

16) تم تبريد 3.5 kg من الهواء عند ثبوت حجمه من 150 o c حتي 25 o c ، ثم تمدد هذا الهواء أدياباتيا حتي وصلت درجة حرارته إلي (-40 o c ) .
فإذا كان الضغط الإبتدائي 10 bar ، أوجد:-
أ‌- الضغط النهائي.
ب‌- الحجم النهائي.
ج‌- كمية الحرارة المرتجعة أثناء عملية التبريد.
للغاز R = 0.287 KJ / kg.k
Cv = 0.718 KJ /Kg.K
Cp = 1.005 KJ / kg.k
( 2.98 bar, 0.789 m3 , 314.125 KJ )

17) تم انضغاط غاز في منظومة مغلقة تبعا للعلاقة PV 1.28 = c فإذا كانت درجة حرارة الغاز الإبتدائية 70 o c ، ونسبة الإنضغاط 22/1 احسب درجة الحرارة بعد الإنضغاط. وإذا أضيفت كمية من الطاقة الحرارية قدرها 1410 KJ / Kg مع ثبوت ضغطها احسب درجة الحرارة النهائية وكذلك النسبة بين الحجم الإبتدائي والحجم النهائي؟
C p = 1.004 KJ / Kg.k ( 815 o k , 2254 o k, 7.95)

1Cool 0.2 m3 من الهواء ضغطها 1.1 bar ودرجة حرارتها 15o c تم تسخينها مع ثبوت ضغطها حتي أصبحت درجة حرارتها 150 o c . بعد ذلك تم انضغاط هذ الغاز حتي 7.15 bar تبعا للقانون PV 1.32 = c ، أوجد: -
أ- كمية الحرارة المضافة للهواء أثناء عملية التسخين.
ب- درجة الحرارة النهائية بعد الإنضغاط للهواء.
ٌR= 0.287 KJ / kg.k , Cp= 1.005 KJ / kg.k,( 36.1 KJ , 665.9 o k)

19).07 m3 0 من غاز ضغطها.14 MN / m2 4 تمددت في اسطوانة إحدي الماكينات حتي انخفض ضغطها إلي 310KN / m3 فإذا كان التمدد تبعا للقانون PV1.35 = c ، اوجد:
أ- الحجم النهائي
ب- الشغل المبذول بواسطة الغاز
( 0.477 m3 , 405.1 KJ )

20 ) 14 lit من غاز ضغطها 3.15 MN / m2 تمددت في منظومة مغلقة حتي وصل حجمه إلي 154 Lit وضغطه النهائي حتي 120 KN / m2 .
فإذا كان التمدد بوليتروبيا احسب مؤشر التمدد؟
( 1.363)

21) غاز مثالي درجة حرارته 17oC تم انضغاطه حتي انخفض حجمه الي ¼ الحجم الأصلي وارتفع ضغطه الي ستة أضعاف الضغط الابتدائي .
اوجد درجة الحرارة النهائية.
[430ok]
22) 450lit. من غاز ضغطها 50bar تمددت حتي أصبح حجمها 3600lit. وضغطها الي 3bar . فإذا وصلت درجة الحرارة النهائية الي 491ok إوجد:
أ‌- درجة الحرارة الابتدائية.
ب‌- مؤشر التمدد البوليتروبي.
ت‌- الشغل المبذول أثناء التمدد.
[1023ok , 1.353 , 6344 kj ]
23) غاز مثالي ضغطه 25bar ودرجة حرارته 1500oC تمدد في منظومة مغلقة حتي انخفض ضغطه الي 2.8 bar حسب القانون PV1.13=C .
فإذا كان الحجم الابتدائي للغاز 350lit. إوجد:
أ‌- الحجم النهائي.
ب‌- درجة الحرارة النهائية.
ت‌- الشغل المبذول أثناء التمدد.
[ 2429.227lit. , 1378ok , 1497 kj]
24) تم انضغاط 1 m3 من غاز مثالي من ضغط 1 bar حتي تضاعف ضغطه مرتين. فإذا كانت درجة الحرارة الابتدائية 27oC ومؤشر الانضغاط n=1.35 اوجد :
أ‌- كتلة الغاز.
ب‌- درجة الحرارة بعد الانضغاط.
ت‌- الشغل المبذول.
ث‌- التغير في الطاقة الداخلية.
ج‌- كمية الحرارة المنتقلة من الغاز الي جدران الاسطوانة أثناء عملية الانضغاط.
R= 0.287 kj/kg.k Cv=0.718 kj/kg.k
[ 1.1534 kg , 359ok , -56.25kj , 48.9kj , -7.35 kj